SISTEMA DE NUMERACION

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

Sistema de numeración decimal:

Se compone de diez símbolos o dígi­tos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares.

El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la de­recha.

Por ejemplo: 721 

7 centenas + 2 decenas + 1 unidades

7*10² + 2*10¹ + 1*10⁰

700 + 20 + 8 = 728

En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concreta­mente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. 

Por ejemplo: 5261,33 

5 millares + 2 centenas + 6 decenas + 1 unidades + 3 décimos + 3 céntimos

5*10³ + 2*10² + 6*10¹ + 1*10⁰ + 3*10^-1 + 3*10^-2

5000 + 200 + 60 + 1 + 0,3 + 0,03 = 5261,33

Sistema de numeración binario.

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:

1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ , es decir:

8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:

1011₂ = 11₁₀

Conversión entre números decimales y binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 77₁₀ haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:
 

77 : 2 = 38 Resto: 1

38 : 2 = 19 Resto: 0

19 : 2 = 9 Resto: 1

9 : 2 = 4 Resto: 1

4 : 2 = 2 Resto: 0

2 : 2 = 1 Resto: 0

1 : 2 = 0 Resto: 1

 

tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

77₁₀ = 1001101₂

Conversión de binario a decimal

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.

Por ejemplo, para convertir el número binario 1010011₂ a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 83

1010011₂ = 83₁₀

Sistema de numeración octal

El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.

En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu­gar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.

Por ejemplo, el número octal 273₈ tiene un valor que se calcula así:

2*8³ + 7*8² + 3*8¹ = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 1496₁₀

273₈ = 1496₁₀

Conversión de un número decimal a octal

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 122₁₀ tendremos que hacer las siguientes divisiones:

122 : 8 = 15 Resto: 2

15 : 8 = 1 Resto: 7

1 : 8 = 0 Resto: 1

Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

122₁₀ = 172₈

Conversión octal a decimal

La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 237₈ a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:

2*8² + 3*8¹ + 7*8⁰ = 128 + 24 + 7 = 159₁₀

237₈ = 159₁₀

 

Sistema de numeración hexadecimal

 

En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima­les 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.

Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F₁₆:

1A3F₁₆ = 1*16³ + A*16² + 3*16¹ + F*16⁰

1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F₁₆ = 6719₁₀